相似形

       本章研究平面上两个相似形的关系。回忆一下，在初等几何中已经证明：“如果两个图形的所有对应角①都相等，那么所有的对应线段成比例，两个图形相似。”我们将先讨论对应边互相平行的两个相似形，并证明过它们每一对对应点的直线必交于同一点，这点称为位似中心。在一般情况，两个相似形在同一平面，但对应边不互相平行，这时存在一个相似中心，即自身对应的点，它关于这两个图形具有同样的对应位置。这个点的性质，下面将详细讨论，以便今后应用。其中，两个圆的特殊情况给予了应有的注意。$21我们首先考虑位似形，即两个图形的对应线互相平行，并且对应点的连线交于同一点（图3）

       定理设点O及图形ABC?为已知。将每条线段OA，OB，OC?分成定比k，分点为A'，B'，C'?，则图形A'B'C?与图形ABC厖顺相似①，对应边互相平行。

因为，我们立即看出任两个对应的三角形，例如OAB与OA'B'，是相似的；所以对应边互相平行，并且比等于k。

       应当指出，已知的图形不限定为直线形。例如：定理连结一个定点与一个圆上各点的线段，它们的中点的轨迹是另一个圆，半径为已知圆的一半。两圆对应的半径互相平行，过对应点的切线也互相平行。

       作为另一种推广，我们指出在第一个定理中的点0，不限定在图形ABC厖所在的平面上。这可以得出下面的定理：

       定理如果点O在图形ABC?所在平面外，线段OA，OB，OC?被分成定比k，分点为A'，B'，C'?，那么点A'，B'，C’?在与平面ABC平行的平面上，并且图形A'B'C?与图形ABC?相似。反过来，任一个与已知平面ABC平行的平面与射线OA，OB，OC?相截，得到的图形与已知图形ABC?相似。还有，如果两个相似形分别在两个平行平面上，并且对应边平行，那么对应点的连线必交于同一点。

       现在继续讨论在同一个平面上的图形。由相似三角形容易证明，每一对对应点的连线通过点O。这点称为位似中心或相似中心，比k称为两个图形的相似比。k可取任意的正值或负值。如果k是正的，对应点在0的同侧，对应边的方向相同；如果k是负的，O在每一对对应点之间，对应边的方向相反。在前一种情况，O称为外位（相）似中心；在后一种情况，O称为内位（相）似中心。