本章研究圆组。首先，由一些熟知的初等几何定理，引入“幂”的关系。对这关系的广泛研究引到两个圆的根轴，以及共轴组的性质，然后讨论非常重要的反演理论，并建立它的基本原理。本章包含很多研究三角形时需要的理论.在第5章，对本章涉及内容的某些进一步发展，将更详细地讨论。
首先，我们重新建立 初等几何学中的两个标准的定理，并将它们融合为一个定理，以适合我们的目的。
定理 如果从一个定点作直线与一个定 圆相交，那么从这定点到两个交点的距离的积是定值设P为已知点，在圆内或圆外均可.令直线PAB与PCD分别交圆于A，B与C，D在每一种情况，△PAD与△PCB的对应角均由相同的弧度量，所以两个三角形相似，
·= ·
证毕。
系如果定圆的半径为r，圆心为O，那么定积·等于
p=-r².
定义 点P关于圆心为O、半径为r的圆的幂是-r²
41 读者可以建立冪的下列性质，它直接依赖于上面的定理与定义。
定理如果点P在圆外，那么 P关于这个圆的幕是正的，并且等于P到这圆的切线的平方。如果P在圆上，这幕是零。.如果P在圆内，这幕是负的；它可以解释为过P的直径被分成的两条线段的积：（+ r）（-r），或过P而且垂直于OP的弦的一半的平方的相反数。
过圆内-点P，垂直于OP的弦，被P点平分，称为P点的最小弦；因为过P的弦中，这条弦最短，如果点在圆外，幂的关系用圆的切线简洁地表示；如果点在圆内，则用最小弦表示。
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