素数

       对于我们大多数人而言，数学的全部内涵就是数数、模式刻画，还有建立体系解释万物。然而，素数与此毫不相同。它们神秘莫测，引人入胜，因为它们由来深奥，美妙非常。

       素数的定义很简单：它是只能被1和自己整除的数。我们试试看几个数吧。1只能被它自己和1整除，生效了，1是素数。（啊，但是1很特殊，我们稍后再看它到底是不是素数。）继续，2只能被它自己和1整除，所以它是素数。此时我们可以说所有数都能被1整除，我们就只专注于找它的因子吧。3不能被2整除，能被3整除——3是素数。4能被2整除，所以不是素数。所有比2大的偶数都能被2整除，都不是素数。事实上，2是唯一的偶素数。

开端

       其他素数包括7，11，13，17，19，.?，它们源源不断地出现，甚至我们的祖先也对这些特殊的数表现出兴趣。伊尚戈骨头——20000年前在沸沸腿骨上刻字的一套计数系统，包括了若干素数，特别是10到20之间的素数。这些对于我们计算大型数字可有帮助？不得而知。但我们知道在文明之花绽放的过程中，人们被素数深深吸引。古埃及人对于以素数为分母的单位分数另眼相看，其缘由亦不知晓。公元前300年，古希腊的欧几里得在涵盖其全部数学知识的巨著《几何原本》（其实同时还有13本小型著作出版）中，对素数的理解有了长足进展。

       算术

       欧几里得的《几何原本》在最近的2300年间屡屡出版印行，从未中断，其他图书难以望其项背。在《几何原本》的诸多数学上的原理和定理之中，包含了算术基本定理。这个定理既提纲领，又支持有力，阐述了我们进行的求和与其他计算总是只有唯一答案的原因。这个定理说任何比1大的自然数（见第14页）要么是素数，要么是一系列素数的乘积。构成这个数的一串数称为因子。所有非素数都是由一组素数构成的。例如，4=2?，6=2?，8=2??，12=2??，15=3?。思考一下这些计算，你能想象这些数是另外一串素数的乘积吗？不考虑排列顺序的话，永远只能有一组素数因子。每个非素数有唯一的一组素数因子。

       在无穷无尽的素数之中，数学家发现许多子集。间隔为2的一对是孪生素数，间隔为2或4的三元组是三联素数，间隔为4的是表亲素数，间隔为6的是姻亲素数。

孪生素数：

（3，5），（5，7），（11，13），（17，19），（29，31），（41，43），

（59，61），（71，73），（101，103），（107，109）

三联素数：

（5，7，11），（7，11，13），（11，13，17），（13，17，19），（17，19，23），（37，41，43），（41，43，47），（67，71，73），（97，101，103），（101，103，107），（103，107，109），（107，109，113），（191，193，197），（193，197，199），（223，227，229），（227，229，233），（277，281，283），（307，311，313），（311，313，317），（347，349，353），（457，461，463），（461，463，467）（613，617，619）（641，643，647），（821，823，827）

表亲素数：

（3，7），（7，11），（13，17），（19，23），（37，41），（43，47），（67，71），（79，83），（97，101），（103，107），（109，113），

（127，131），（163，167），（193，197），（223，227），（229，233），（277，281），（307，311），（313，317），（349，353），（379，383），（397，401），（439，443），

（457，461），（463，467），（487，491），（499，503），（613，617），（643，647），（673，677）

姻亲素数：

（5，11），（7，13），（11，17），（13，19），（17，23），（23，29），

（31，37），（37，43），（41，47），（47，53），（53，59），（61，67），

（67，73），（73，79），（83，89），（97，103），（101，107），

（103，109），（107，113），（131，137），（151，157），（157，163），（167，173），（173，179），（191，197），（193，199），（223，229），（227，233），（233，239），（251，257），（257，263），（263，269），（271，277），

（277，283），（307，313），（311，317），（331，337）数字之元

       如上，我们称非素数为合数，因为它们是小素数的聚合。从这个意义上说，素数是数字之元。它们不能拆解成更小的单元，别的数字都是由它们构成的。素数有无穷个

       《几何原本》里面也包含欧几里得定理的一个证明，显示了素数有无穷个。这个有点复杂，但是我们这么说吧：这个证明先假设素数只有有限个，而且已经全部知晓了。欧几里得提出反论，并且说如果你把它们都乘起来，你就知道这里面至少有一个你没列出的素数。把已经列出的这些素数乘起来，乘积为P。欧几里得把P上再加1，得到新数Q。Q是素数吗？如果是的话，你就得到一个原来未列出的素数。如果Q不是素数，就更麻烦啦，那它必然能被某一个素数整除。在得到P的过程中，你已经有了一个所有素数的列表，这里面有谁能整除Q吗？欧几里得说，不可能的！因为这些素数已经是P的因子了。（回顾一下，P就是这些素数相乘得来的，所以它们每一个都能整除P。）一个素数不可能既整除P，又整除Q，因为二者只差1。这意味着合数Q有个素数因子刚才并未列出。于是得到结论：仍然有漏网的素数！素数的名单永远也列不全。